Question

已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意可得f（-x）=-f（x），即，由此求得a的值．
（Ⅱ）根据f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，可得在[2，+∞）上恒成立，即在[2，+∞）上恒成立，求得在[2，+∞）上的最
小值y_min=4，可得a≤4，验证知当a≤4满足条件．
解答：解：（Ⅰ）解：因为是奇函数． 所以f（-x）=-f（x），其中x∈R且x≠0．…（2分）
即，其中x∈R且x≠0．
所以a=0．…（6分）
（Ⅱ）解：．…（8分）
因为f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，
所以 在[2，+∞）上恒成立，…（9分）
即在[2，+∞）上恒成立，
因为在[2，+∞）上的最小值y_min=4，
所以 a≤4，验证知当a≤4时，f（x）在区间[2，+∞）上单调递增．…（13分）
点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．