Question

（理）已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）．令f'（2）=0，能求出a的值．
（Ⅱ）当a=0时，．故f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=0，或．当0＜a＜1时，列表讨论f（x）与f'（x）的情况能求出f（x）的单调区间．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（0）=0，知不合题意．当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是，由，知不合题意．当a≥1时，f（x）在（0，+∞）单调递减，可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合题意．由此能求出f（x）在[0，+∞）上的最大值是0时，a的取值范围是[1，+∞）．
解答：（理）（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：．
依题意，令f'（2）=0，解得 ．
经检验，时，符合题意．…（4分）
（Ⅱ）解：①当a=0时，．
故f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=0，或．
当0＜a＜1时，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-		+		-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

所以，f（x）的单调增区间是；单调减区间是（-1，0）和．
当a=1时，f（x）的单调减区间是（-1，+∞）．
当a＞1时，-1＜x₂＜0，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-1，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	-		+		-
f（x）	↘	f（x2）	↗	f（x1）	↘

所以，f（x）的单调增区间是；单调减区间是和（0，+∞）．
③当a＜0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
综上，当a≤0时，f（x）的增区间是（0，+∞），减区间是（-1，0）；
当0＜a＜1时，f（x）的增区间是，减区间是（-1，0）和；
当a=1时，f（x）的减区间是（-1，+∞）；
当a＞1时，f（x）的增区间是；减区间是和（0，+∞）．
…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（0）=0，知不合题意．
当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是，
由，知不合题意．
当a≥1时，f（x）在（0，+∞）单调递减，
可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合题意．
所以，f（x）在[0，+∞）上的最大值是0时，a的取值范围是[1，+∞）．…（12分）
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．