Question

在两个正数之间插入1个数a，这3个数成等差数列，若插入2个数b、c，则4个数成等比数列．证明：
（1）b³+c³=2abc；
（2）2a≥b+c．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出两个正数x，y，把a，b，c用x，y表示，分别代入等式两边得答案；
（2）设出等比数列的公比q，把a，b，c用x，y，q表示，作差即可证得答案．

解答： 证明：（1）设两个正数分别为x，y，插入a成等差数列，则有x-a=a-y，
于是a=

x+y

2

，
插入2个数b、c，使4个数成等比数列，则有xy=bc，
设等比数列的公比为q，
则y=x•q³，q=

3	y x

．
b=x•q=x

2

3

•y

1

3

，c=

y

q

=x

1

3

•y

2

3

．
∴b³+c³=(x

2

3

•y

1

3

)3+(x

1

3

•y

2

3

)3=x2y+xy2=xy（x+y）=2abc；
（2）不妨设x≥b≥c≥y，则q=

b

x

＜1，
2a-（b+c）=（x+y）-（xq+

y

q

）
=x（1-q）+y（1-

1

q

）=x（1-q）+y•

q-1

q

=（1-q）（x-

y

q

）=x（1-q）（1-q²）=x（1-q）²（1+q）≥0．
当且仅当q=1时上式取等号．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的综合，训练了作差法证明数列不等式，考查了数学转化思想方法，是中档题．