题目内容
如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE．
证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足（如图），连接PQ．
∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ．
又NQ=
BN=
CM=MP，∴MPQN是平行四边形．
∴MN∥PQ，PQ?平面BCE．
而MN?平面BCE，
∴MN∥平面BCE．
证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如图），连接NG．
∵MG∥BC，BC?平面BCE，
MG?平面BCE，
∴MG∥平面BCE．
又
=
=
，
∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE．
又面MG∩NG=G，
∴平面MNG∥平面BCE．又MN?平面MNG．∴MN∥平面BCE．
∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ．
又NQ=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴MN∥PQ，PQ?平面BCE．
而MN?平面BCE，
∴MN∥平面BCE．
证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如图），连接NG．
∵MG∥BC，BC?平面BCE，
MG?平面BCE，
∴MG∥平面BCE．
又
| BG |
| GA |
| CM |
| MA |
| BN |
| NF |
∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE．
又面MG∩NG=G，
∴平面MNG∥平面BCE．又MN?平面MNG．∴MN∥平面BCE．
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