Question

1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+$\sqrt{3}$asinC=b+c．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，判断此三角形的形状．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（A-30°）=$\frac{1}{2}$，结合范围0°＜A＜180°，进而可求A的值．
（2）利用三角形面积公式可求bc=4，进而利用余弦定理可求b+c=4，即可解得b=c=2=a，即可得解．

解答 解：（1）∵$sinAcosC-\sqrt{3}sinAsinC=sinB+sinC$
$⇒sinAcosC+\sqrt{3}sinAsinC=sin（A+C）+sinC$
$⇒\sqrt{3}sinAsinC-cosAsinC=sinC$．
∵sinC＞0，
∴$\sqrt{3}sinA-cosA=1⇒sin（A-{30°}）=\frac{1}{2}$．
∵0°＜A＜180°，
∴-30°＜A-30°＜150°，
∴A-30°=30°，可得：A=60°．
（2）$S=\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}?bc=4$，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
⇒4=（b+c）²-12，
⇒b+c=4，
⇒b=c=2．
∵A=60°，
∴B=C=60°．
故△ABC是正三角形．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，熟练应用相关公式是解题的关键，属于基础题．