Question

如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE=CA=2BD，M是EA的中点，
（1）平面DEA⊥平面ECA．
（2）求直线AD与面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取AC中点N，连接MN、NB，由三角形中位线定理结合题意证出四边形MNBD是平行四边形．由BD⊥平面ABC，得到BN⊥BD，得四边形MNBD是矩形，所以BN⊥MN．再由正△ABC中BN⊥AC，结合线面垂直判定定理证出BN⊥平面ECA，从而得到DM⊥平面ECA，结合面面垂直的判定即可证出平面DEA⊥平面ECA．
（2）由（1）的结论，DM⊥平面ECA，可得∠EAD就是直线AD与面AEC所成角．设等边三角形ABC的边长为2，在 Rt△AMD中，算出AD、DM的长度，利用直角三角形中三角函数的定义，即可算出AD与面AEC所成角的正弦值．

解答：解：（1）取AC中点N，连接MN、NB，
∵MN是△ACE的中位线，∴MN

∥

.

1

2

EC．
又∵BD

∥

.

1

2

EC，∴四边形MNBD是平行四边形，
∵BD⊥平面ABC，结合BN?平面ABC可得BN⊥BD
∴四边形MNBD是矩形，可得BN⊥MN
∵△ABC为正三角形，N为AC中点，∴BN⊥AC
∵AC、MN是平面AEC内的相交直线
∴BN⊥平面ECA，
∵DM∥BN，∴DM⊥平面ECA，
∵DM?平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．
（2）设等边三角形ABC的边长为2，可得
等腰Rt△AEC中，AC=CE=2，AE=

AC2+CE2

=2

2

由（1）得DM⊥平面ECA，可得∠EAD就是直线AD与面AEC所成角
DM=BN=

3

2

AC=

3

∴Rt△AMD中，AD=

AM2+DM2

=

5

，
可得sin∠EAD=

DM

AD

=

15

5

，即直线AD与面AEC所成角的正弦值等于

15

5

．

点评：本题给出特殊的四棱柱，求证面面垂直并求线面所成的角．着重考查了线面垂直的判定与性质、面面垂直判定定理和直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题．