Question

15．（1）设直线l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，其中实数k₁，k₂满足k₁k₂+2=0．证明l₁与l₂相交．
（2）若曲线C₁：x²+y²-2x=0x²+y²-2x=0与曲线C₂：y（y-mx-m）=0有四个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）用反证法．假设l₁与l₂不相交，从而得到k₁²+2=0，与k₁为实数的事实相矛盾，推翻假设，从而证明l₁与l₂相交．
（2）曲线C₁是圆．，曲线C₂表示两条直线，把圆的方程化为标准方程后找出圆心和半径，根据直线y-mx-m=0过定点，先求出直线与圆相切时的m的值，然后结合图象能过河卒子同m的范围．

解答 解：（1）∵用反证法．假设l₁与l₂不相交，则l₁与l₂平行，有k₁=k₂，
代入k₁k₂+2=0，得k₁²+2=0，此与k₁为实数的事实相矛盾，
从而k₁≠k₂，即l₁与l₂相交．
（2）由题意得曲线C₁：x²+y²-2x=0表示一个圆，化为标准方程，得：
（x-1）²+y²=1，圆心坐标为（1，0），半径r=1，
C₂：y（y-mx-m）=0表示两条直线y=0和y-mx-m=0，
由直线y-mx-m=0可知：此直线过定点（-1，0），
在平面直角坐标系中画出图象，如图所示：
当直线y-mx-m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d=$\frac{|2m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}=r=1$，
化简，得：${m}^{2}=\frac{1}{3}$，解得m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则直线y-mx-m=0与圆相交时，m∈$（-\frac{\sqrt{3}}{3}，0）∪（0，\frac{\sqrt{3}}{3}）$．
∴实数m的取值范围是$[-\frac{\sqrt{3}}{3}，0）∪（0，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．

点评 本题考查直线相交的证明，考查直线与圆的位置关系，解题时要注意反证法、数形结合思想的合理运用，是中档题．