Question

（09年枣庄一模理）（12分）

       如图，已知三棱柱ABC―A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在A₁B₁上，且满足

   （I）证明：

   （II）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？并求该角最大值的正切值；

   （II）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解析：（I）如图，以AB，AC，AA₁分别为轴，建立空间直角坐标系

                                      

则   2分

       从而

      

       所以   3分

   （II）平面ABC的一个法向量为

       则

       （※）   5分

       而

       由（※）式，当   6分

   （III）平面ABC的一个法向量为

       设平面PMN的一个法向量为

       由（I）得

       由   7分

       解得   9分

       平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，

      

       解得   11分

       故点P在B₁A₁的延长线上，且   12分