Question

已知圆C：x²+y²+Dx-6y+1=0上有两点P、Q关于直线x-y+4=0对称．直线l：（2m-1）x-（m-1）y+8m-6=0被⊙C截得的弦长最短时，求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆

分析：圆C：x²+y²+Dx-6y+1=0上有两点P、Q关于直线x-y+4=0对称，说明直线过圆心，易求D的值，然后求出圆的半径，可得圆的方程，当圆心C（-1，3）与A（3，1）的连线与l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短，由此可得结论．

解答： 解：（1）圆C：x²+y²+Dx-6y+1=0，圆心为（-

D

2

，3）．
∵点P、Q在圆上且关于直线x-y+4=0对称，
∴圆心（-

D

2

，3）在直线上．代入得D=2．
圆C：x²+y²+2x-6y+1=0，即圆C：（x+1）²+（y-3）²=9，
直线l：（2m-1）x-（m-1）y+8m-6=0，即：m（2x-y+8）+（-x+y-6）=0，恒过（-2，4）点，
当圆心C（-1，3）与A（-2，4）的连线与所求截距所在直线垂直时，直线l被圆C截得的弦最短
∵CA=

(-1+2)2+(3-4)2

=

2

，圆的半径为3，
∴直线l被圆C截得的弦最短的弦长为2

32-( 2 )2

=2

7

．
∴k_AC=

4-3

-2+1

=-1，
∴

2m-1

m-1

=1，
∴m=0．

点评：本题考查直线与圆的方程的应用，直线的一般式方程，考查直线恒过定点，考查直线与圆的位置关系，函数与方程的思想，是中档题．