Question

如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（　　）

A.                                        

B.

C.                                       

D.

Answer 1

D

解：作圆锥的轴截面如图，在轴截面△SCD中，过A作AB⊥SO分别交SO、SD于B、E，连OE.因为OA绕轴SO旋转一周所得曲面将圆锥S－COD分成两部分，其上部分为两个同底的圆锥S－ABE和O－ABE的组合体.设圆锥S－COD、圆锥O－ABE、圆锥O－ABE的体积分别为V、V­₁、V_2，OC＝R，AB＝r，SO＝h

　  　依题意得：V＝2（V₁+V₂）

　  　即R²h＝2（r²·SB+r²·BO）=r²h，

∴r=R

又∵OA⊥SC，AB⊥SO,CO⊥SO,AB∥OC,

∴∠BAO=∠AOC=∠OSC=a

∴=cos=，

∴OA²=AB·OC=R²

∴OA=R，

∴cos==

∴选D