Question

如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（　　）

• A、arccos

  1

  3 2

• B、arccos

  1

  2

• C、arccos

  1

  2

• D、arccos

  1

  4 2

Answer 1

分析：设过A点的一条母线为BC，其中B为顶点，过A点作OB的垂线交OB于D，令圆锥体的体积为V，OC=R，DA=r，母线与轴夹角为∠OBA=∠β，求出上部两个圆锥的体积的和，再求出大圆锥的体积，两个之比为

1

2

，然后求出β的值．

解答：解；设过A点的一条母线为BC，其中B为顶点，过A点作OB的垂线交OB于D，
令圆锥的体积为V，OC=R，DA=r，母线与轴夹角为∠OBC=∠β
将OBA看作是底面积相等的两个锥形，

1

3

r²π•BD+

1

3

r²π•0D=

1

2

V

1

3

r²π•OB=

1

2

V…①
V=

1

3

R²π•OB…②
由①、②得
R²=2•r²（R=r

2

），r=OA•COSβ
OA=R•COSβ，r=R•COS²β，COS²β=

t

R

=

2

2

β=arccos

1

4 2

故选D．

点评：本题考查圆锥的结构特征，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．