题目内容

13．确定函数y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）在区间（1，+∞）的单调性，并用定义证明．

分析 可设任意的x1＞x2＞1，然后作差，通分，提取公因式，从而可得出y1＞y2，这样即得出函数$y=x+\frac{1}{x}$在区间（1，+∞）上的单调性．

解答 解：设x1＞x2＞1，则：
${y}_{1}-{y}_{2}={x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x1＞x2＞1；
∴x1-x2＞0，$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＜1，1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）＞0$；
∴y1＞y2；
∴$y=x+\frac{1}{x}$在区间（1，+∞）上单调递增．

点评 考查函数单调性的定义，以及根据函数单调性定义判断和证明一个函数单调性的方法和过程．

练习册系列答案
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（2）求数列{nan}的前n项和．
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C．?x∈R，x2-4≥0或x2-4x≤0D．?x∈R，x2-4≥0且x2-4x≤0

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