Question

14．某校4000学生全部参加了“抗战知识普及大赛”，现随机抽取40名学生的成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示，其中第六、二、三、四小组的人数依次构成等差数列，请视察图形，回答下列问题：
（1）分别求第二、三小组的频率；
（2）估计全校成绩在60分以上（包括60分）的学生共有多少人？
（3）样本中，从成绩在80分以上（包括80分）的学生中任选2人．
①写出这个试验的所有基本事件；
②求至少有1人成绩在90～100分数段的概率．

Answer 1

分析 （1）根据频率分布直方图和等差数列的性质即可求出，
（2）求出成绩在60分以上（包括60分）的学生的频率，根据样本估计总体，即可求出，
（3）成绩在[80，90）的人数为40×0.1=4人，用A，B，C，D表示，成绩在[90，100]的人数为2人，用a，b表示，一一列举即可，并根据概率公式计算即可．

解答 解：（1）由频率分布直方图可得，第四组的人数为40×0.035×10=14，第六组的人数为40×0.005×10=2，
则第二，三组的人数为14+2=16人，因为第六、二、三、四小组的人数依次构成等差数列，设公差为d，则$\frac{14-2}{3}$=4，
故第二、三小组的人数分别为6，10，
故第二、三小组的频率为$\frac{6}{40}$=0.15，$\frac{10}{40}$=0.25；
（2）成绩在60分以上（包括60分）的学生的频率为1-（10×0.01）-0.15=0.75，
∴估计全校成绩在60分以上（包括60分）的学生共有4000×0.75=3000人，
（3）①成绩在[80，90）的人数为40×0.1=4人，用A，B，C，D表示，成绩在[90，100]的人数为2人，用a，b表示，
则从成绩在80分以上（包括80分）的学生中任选2人，共有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共有15种，
②至少有1人成绩在90～100分数段的有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，ab共有9种，
故至少有1人成绩在90～100分数段的概率为$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题属于统计内容，考查分析频数分布直方图和频率的求法，等差数列的性质，概率的计算，属于中档题．