Question

如图，在半径为1m的圆中作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆中作内接正六边形，如此无限继续下去，则所有这些圆的面积和S=______m²．

Answer 1

依题意分析可知图形中内切圆半径分别为：1，cos30°，cos30°×cos30°，cos30°×cos30°×cos30°
即1，

3

2

，

3

4

，

3 3

8

，…
则面积依次为：π，

3π

4

，

9π

16

，

27π

64

，…
∴所有这些圆的面积和为

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

(π+

3π

4

+

9π

16

+

27π

64

+…)=π

lim

n→∞

(1+

1

4

+

9

16

+

27

64

+…)=π×

1

1- 3 4

=4π
故答案为4π