Question

【题目】设.

（Ⅰ）令，求的单调区间；

（Ⅱ）当时，直线与的图像有两个交点，且，求证：.

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）详见解析.

【解析】

试题（I）先求得的表达式，对求导，以分类讨论函数的单调区间.（II） 由（I）知，，根据单调性可知函数在处取得极小值也是最小值.构造函数，利用导数求得，即有，根据单调性有.

试题解析：

解：（Ⅰ）由,

可得,

则.

当时, 时，，函数单调递增；

当时，时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；

所以，当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，.

当时, 是增函数，且当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以在处取得极小值，且，

所以.

.

令，则，

于是在（0,1）上单调递减，故，

由此得即.

因为，在单调递增，

所以即.