Question

【题目】如图所示，在棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4且AB∥CD，∠BAD=90°.

（1）求证：BC⊥PC；

（2）求PB与平面PAC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题（1）连接，,取的中点，连接，，所以为等腰直角三角形，故，而，所以平面，所以.以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算得线面角的正弦值为.

试题解析：

（1）在直角梯形中，，

取中点，连接，

则四边形为正方形，

∴,

又，

则为等腰直角三角形，

∴，

又∵平面，平面，

∴，

由得平面，

∵平面，所以.

（2）以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的坐标系，

则，.

由（1）知即为平面的一个法向量，

，

即与平面所成角的正弦值为.