Question

【题目】设(e为自然对数的底数)，．

(I)记.

(i)讨论函数单调性；

(ii)证明当时，恒成立

(II)令，设函数G(x)有两个零点，求参数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（i）当时， 单调减；当时， 单调增;（ii）见解析;

（Ⅱ）

【解析】

试题（Ⅰ）(1)由函数求出它的导函数,根据其导函数的正负,即可得到函数单调区间即可.
(2)构造函数,对进行讨论，证明其最小值大于0.

（Ⅱ）,,通过对分类讨论研究其单调性，得到有两个零点时的范围.

试题解析：（Ⅰ）．

，

所以，当时，，单调减；

当时，，单调增．

，

令，，

，

所以，又，所以

时，恒成立，即

当时，恒成立．

（Ⅱ）由已知，，

．

当时，，有唯一零点；

②当时，，所以

当时，，单调减；

当时，，单调增．

所以，

因，所以当时有唯一零点；

当时，，，所以，

所以，

因为，

所以，，且，当，或时，使，

取，则，从而可知

当时，有唯一零点，

即当时，函数有两个零点．

③当时，，由，得，或．

若，即时，，所以是单调减函数，至多有一个零点；

若，即时，，注意到，都是增函数，所以

当时，，是单调减函数；

当时，，是单调增函数；

当时，，是单调减函数．

，所以

至多有一个零点；

若，即时，同理可得

当时，，是单调减函数；

当时，，是单调增函数；

当时，，是单调减函数．

所以，至多有一个零点．

综上，若函数有两个零点，则参数的取值范围是．