Question

【题目】已知， 是的导函数．

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，有极小值 ,无极大值；（Ⅱ）

【解析】试题分析：

(Ⅰ)结合导函数分类讨论可得当时， 无极值；当， 时，有极小值.

(Ⅱ)结合题意构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围是.

试题解析：

（Ⅰ）， ， ，

当时， 恒成立， 无极值；

当时， ，解得，

由，得；由，得，

所以当时，有极小值.

（Ⅱ）令，则，注意到，

解法一： ，

①当时，由，得，即在上单调递增，

所以时， ，从而在上单调递增，

所以时， ，即恒成立.

②当时，由解得，即在上单调递减，

所以时， ，从而在上单调递减，

所以时， ，即不成立.

综上， 的取值范围为.

解法二：令，则，由，得； ，得，

∴，即恒成立，

故，

当时， ，于是时， ， 在上单调递增，

所以，即成立.

当时，由可得.

，

故当时， ，

于是当时， 单调递减， ， 不成立.

综上， 的取值范围为.