Question

已知函数f（x）=x+

1

2x

+2，x∈[1，+∞）．
（Ⅰ）判断函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）解不等式：f（2x-

1

2

）＜f（x+1007）．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）设x₂＞x₁≥1，根据f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•（1-

1

2x1•x2

）＜0，可得函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）由题意可得，f（2x-

1

2

）＜f（x+1007）等价于

2x- 1 2 ≥1 2x- 1 2 ＜x+1007

，由此求得不等式的解集．

解答： 解：（Ⅰ）设x₂＞x₁≥1，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

2x1

-x₂-

1

2x2

=（x₁-x₂）+

x2-x1

2x1•x2

=（x₁-x₂）•（1-

1

2x1•x2

）．
由题设可得x₁-x₂＜0，1-

1

2x1•x2

＞0，
∴（x₁-x₂）•（1-

1

2x1•x2

）＜0，
故有f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）∵函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，
∴f（2x-

1

2

）＜f（x+1007），
等价于

2x- 1 2 ≥1 2x- 1 2 ＜x+1007

．
解得

3

4

≤x＜

2015

2

，
故原不等式解集为[

3

4

，

2015

2

）．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．