Question

已知a，b，c满足a≠0且a≥b≥c，a+b+c=0，则函数f（x）=ax²+bx+c截x轴所得到的弦长的取值范围为（　　）

• A．[

  1

  2

  ，2]
• B．[

  3

  2

  ，3]
• C．[

  6

  2

  ，

  3

  ]
• D．[

  9

  4

  ，9]

Answer 1

分析：设f（x）=ax²+bx+c=0的两个根分别为x₁和x₂，则函数f（x）=ax²+bx+c截x轴所得到的弦长为|x₁-x₂|，利用韦达定理得到|x₁-x₂|²=

b2-4ac

a2

，又有a+b+c=0，将b=-a-c代入到弦长表达式中，转化为关于

c

a

的二次函数，结合a≥b≥c，求出

c

a

的取值范围，利用二次函数求值域，即可求得弦长的取值范围．

解答：解：设f（x）=ax²+bx+c=0的两个根分别为x₁和x₂，则有x₁+x₂=-

b

a

，x₁ x₂=

c

a

，
∴函数f（x）=ax²+bx+c截x轴所得到的弦长=|x₁-x₂|²=(x1+x2)2-4x1x2=(-

b

a

)2-

4c

a

=

b2-4ac

a2

，
∵a+b+c=0，
∴b=-a-c，
∴|x₁-x₂|²=

b2-4ac

a2

=

(-a-c)2-4ac

a2

=(

c

a

)2-2(

c

a

)+1=(

c

a

-1)2，
∵a≥b≥c，即a≥-a-c≥c，解得，-2≤

c

a

≤-

1

2

，
∴当

c

a

=-2时，|x₁-x₂|²取最大值9，
当

c

a

=-

1

2

时，|x₁-x₂|²取最小值

9

4

，
∴|x₁-x₂|²的取值范围为[

9

4

，9]，
∴函数f（x）=ax²+bx+c截x轴所得到的弦长的取值范围为[

3

2

，3]．
故选B．

点评：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，以及二次函数求最值的问题，同时不等式的性质也略有体现，属于方程、函数以及不等式的综合应用．属于中档题．