Question

【题目】已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，焦距为，点在该椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，是椭圆上位于直线两侧的动点．当点运动时，满足，问直线的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由题可得， 所以 ，则椭圆的方程为

（2）将代入椭圆方程可得，解得 ，则 ，由题可知直线与直线的斜率互为相反数，写出直线的方程与椭圆方程联立整理可得。

（1）因为椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，

所以设椭圆方程为

因为焦距为，

所以 ，焦点坐标 ，

又因为点在该椭圆上，代入椭圆方程得

所以 ，即

解得

所以

则椭圆的方程为.

（2）将代入椭圆方程可得，解得

则

当点运动时，满足，则直线与直线的斜率互为相反数，

不妨设，则，

所以直线的方程为，

联立 ，解得

因为是该方程的两根，

所以，即，

同理直线的方程为且

所以

所以 ，

即直线的斜率为定值。