Question

【题目】数列满足对任意的恒成立，为其前n项的和，且，.

（1）求数列的通项；

（2）数列满足，其中.

①证明：数列为等比数列；

②求集合

Answer 1

【答案】（1）；（2）①过程见详解；②.

【解析】

（1）先由题意，得到数列是等差数列，设公差为，根据题中条件，求出首项与公差，进而可求出通项公式；

（2）①根据（1）的结果，将化为，得到（），两式作差整理，得到，进而可求出，判断出结果；

②先由得到，即，判断出，得到，设，得到，分别研究对应的情况，再由导数的方法证明当，时， ，即可得出结果.

（1）因为数列满足对任意的恒成立，

所以数列是等差数列，设公差为，

因为，，所以，解得：，

因此；

（2）①因为数列满足，

，

所以（），

两式作差可得：（），

又也满足上式，所以，

记数列的前项和为，

则，

当时，，两式作差可得：，

所以，

即，

所以，因此，即数列为等比数列；

②由得，即，

记，由①得，所以，因此（当且仅当时等号成立）.

由得，所以.

设，由得，即；

当时，，不符合题意；

当时，，此时符合题意；

当时，，不符合题意；

当时，，不符合题意，

下面证明当，时， ，

不妨设，

则在上恒成立，

所以在单调递增；

所以，

所以，当，时， 恒成立，不符合题意；

综上，集合.