Question

已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧面与底面所成的二面角为60°，E、F分别是侧棱PA、PD的中点．求：
（Ⅰ）直线BE与侧棱PC所成的角的大小；
（Ⅱ）AC与截面BCFE所成的角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据侧面与底面所成的二面角为60°可得△PMN是等边三角形；再设AC与MN的交点为O可得∠BEO是PC与BE所成的角；最后通过计算三角形的边长即可求出直线BE与侧棱PC所成的角的大小；
（Ⅱ）过O作OH⊥GN于H，先根据BC⊥MN，BC⊥PN证得BC⊥平面PMN；进而得到平面BCFE⊥平面PMN，可得OH⊥平面BCFE，进而分析出∠OCH是直线AC与平面BCFE所成的角，最后通过计算三角形的边长即可求出结论．

解答：解：（Ⅰ）分别取AD、BC中点M、N，连接PM交EF于G，连接PN、GN、MN．
则PM⊥AD，MN⊥AD．∠PMN是侧面与底面所成的二面角的平面角．
故∠PMN=60°，△PMN是等边三角形．  …（2分）
设AC与MN的交点为O，连接OE，则OE∥PC，
∠BEO是PC与BE所成的角．                            …（4分）
∵PO⊥BD，AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，从而BO⊥OE，AB=4，
则OB=2

2

，OE=

1

2

PC=

5

，
tan∠BEO=

OB

OE

=

2 10

5

，BE与PC所成的角为arctan

2 10

5

；  …（6分）
（Ⅱ）过O作OH⊥GN于H，连接CH．
∵BC⊥MN，BC⊥PN，MN∩PN=N，
∴BC⊥平面PMN．      …（8分）
∴平面BCFE⊥平面PMN．
∴OH⊥平面BCFE．
∠OCH是直线AC与平面BCFE所成的角．…（10分）
在Rt△OCH中，OH=

1

2

MG=1，OC=2

2

，
sin∠OCH=

OH

OC

=

2

4

．
因此AC与平面BCFE所成的角为arcsin

2

4

．…（12分）

点评：本题主要考查线面角以及线线角的求法．一般在求异面直线所成角时，常用方法是通过做平行线把异面直线所成角转化为相交直线所成角，再通过求三角形的边长进而求出对应的角即可．