Question

已知正四棱锥P-ABCD的全面积为2，记正四棱锥的高为h．
（1）用h表示底面边长，并求正四棱锥体积V的最大值；
（2）当V取最大值时，求异面直线AB和PD所成角的大小．
（结果用反三角函数值表示）

Answer 1

分析：（1）先设底面边长为a，斜高为H，由题意a与H的关系，求得正四棱锥体积V的表达式，最后利用基本不等式求其最大值即可；
（2）先根据异面直线及其所成的角的定义得出∠PDQ即为异面直线AB和PD所成的角再在直角三角形中求出其正切值即得异面直线AB和PD所成角的大小．

解答：解：（1）设底面边长为a，斜高为H，由题意a²+2aH=2，所以H=

1

a

-

a

2

，（2分）
又因为H2=h2+(

a

2

)2，所以a=

1

1+h2

（4分）
因而V=

1

3

a2h=

1

3

•

1

h+ 1 h

，
当且仅当h=1时，体积最大，Vmax=

1

6

．（8分）
此时a=

1

2

，H=

3

4

2

．
（2）∠PDQ即为异面直线AB和PD所成的角．（11分）
tan∠PDQ=

2H

a

=3
所以异面直线AB和PD所成角的大小arctan3．（14分）

点评：本题是中档题，考查直线与平面所成角的求法、棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．