Question

（本题15分）已知点是椭圆E：（）上一点，F₁、F₂分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设A、B是椭圆E上两个动点，（）．求证：直线AB的斜率为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．

Answer 1

(1)  (2)根据已知的向量的坐标关系，结合点差法来得到直线的斜率。
(3)

试题分析：解：（Ⅰ）∵PF₁⊥x轴，
∴F₁（-1，0），c=1，F₂（1，0），
|PF₂|=，2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2，b²=3，
椭圆E的方程为：；…………………4分
（Ⅱ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由 得
（x₁+1，y₁-）+（x₂+1，y₂-）=（1,- ），
所以x₁+x₂=-2，y₁+y₂=（2-）………①
又，，
两式相减得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+ 4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0………．．②
以①式代入可得AB的斜率k=为定值； ……………9分
（Ⅲ）设直线AB的方程为y=x+t，
与联立消去y并整理得 x²+tx+t²-3=0,   △=3（4-t²），
AB|=，
点P到直线AB的距离为d=,
△PAB的面积为S=|AB|×d=, ………10分
设f（t）=S²=（t⁴-4t³+16t-16） （-2<t<2），
f’（t）=-3（t³-3t²+4）=-3（t+1）（t-2）²，由f’（t）=0及-2<t<2得t=-1．
当t∈（-2,-1）时，f’（t）>0，当t∈（-1,2）时，f’（t）<0，f（t）=-1时取得最大值，
所以S的最大值为．此时x₁+x₂=-t=1=-2，=3． ………………15分
点评：解析几何中的圆锥曲线的求解，一般运用待定系数法来求解，同时运用设而不求的思想来研究直线与椭圆的位置关系，属于中档题。