Question

17．已知f（x）=2sin$\frac{π}{2}$x，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a_n}，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$\frac{1}{{{{a}^{2}}_{n+1}}^{\;}}$，设数列{b_n}的前n项和为T_n，求证T_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论，进一步利用放缩法和裂项相消法求出结果．

解答 解：（1）f（x）=2sin$\frac{π}{2}$x，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，
则：$\frac{π}{2}x=kπ+\frac{π}{2}$
解得：x=2k+1（k∈Z），
所以M={x|x=2k+1，k∈Z}
把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a_n}，
∵M={1，3，5，…，2k+1}，k∈Z，
所以：a_n=2n-1．
证明：（2）记b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，
${b}_{n}=\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}=\frac{1}{（2n+1）^{2}}$$＜\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
所以：T_n=b₁+b₂+…+b_n$＜\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$$＜\frac{1}{4}$

点评 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，利用裂项相消法和放缩法求数列的和．