Question

4．已知等比数列{a_n}的公比q=3，前3项和${S_3}=\frac{13}{9}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在$x=\frac{π}{6}$处取得最大值为a₄，求函数f（x）在区间$[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知数据可得a₁的方程，解方程易得通项公式；
（Ⅱ）由题意可得A=3，$φ=\frac{π}{6}$，可得$f（x）=3sin（{2x+\frac{π}{6}}）$，由x的范围结合三角函数可得值域．

解答 解：（Ⅰ）由q=3，${S_3}=\frac{13}{9}$可得$\frac{{a}_{1}（1-{3}^{3}）}{1-3}$=$\frac{13}{9}$，解得${a_1}=\frac{1}{9}$，
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}=\frac{1}{9}×{3^{n-1}}={3^{n-3}}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a₄=3，∴函数f（x）的最大值为3，即A=3．
又∵函数f（x）在$x=\frac{π}{6}$处取得最大值，
∴$sin（{2×\frac{π}{6}+φ}）=1$，∵0＜φ＜π，∴$φ=\frac{π}{6}$，
∴$f（x）=3sin（{2x+\frac{π}{6}}）$，
∵x∈$[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[0，\frac{7π}{6}]$，∴$-\frac{1}{2}≤sin（{2x+\frac{π}{6}}）≤1$
∴f（x）在$[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$上的值域为$[-\frac{3}{2}，3]$．

点评 本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及三角函数的值域，属中档题．