Question

4．设D=$|\begin{array}{l}{1}&{-1}&{0}&{2}\\{1}&{0}&{4}&{1}\\{2}&{0}&{3}&{0}\\{1}&{2}&{3}&{4}\end{array}|$，求A₄₁+A₄₂+A₄₃+A₄₄，其中A_4j（j=1，2，3，4）为元素a_4j的代数余子式．

Answer 1

分析 由求A₄₁+A₄₂+A₄₃+A₄₄，按第四行代数余子式展开，A₄₁+A₄₂+A₄₃+A₄₄=$|\begin{array}{l}{1}&{-1}&{0}&{2}\\{1}&{0}&{4}&{1}\\{2}&{0}&{3}&{0}\\{1}&{1}&{1}&{1}\end{array}|$，将行列式化简即可求得行列式的值．

解答 解：A₄₁+A₄₂+A₄₃+A₄₄=$|\begin{array}{l}{1}&{-1}&{0}&{2}\\{1}&{0}&{4}&{1}\\{2}&{0}&{3}&{0}\\{1}&{1}&{1}&{1}\end{array}|$=$|\begin{array}{l}{2}&{0}&{1}&{3}\\{1}&{0}&{4}&{1}\\{2}&{0}&{3}&{0}\\{1}&{1}&{1}&{1}\end{array}|$=$|\begin{array}{l}{2}&{1}&{3}\\{1}&{4}&{1}\\{2}&{3}&{0}\end{array}|$
=2×$|\begin{array}{l}{1}&{3}\\{4}&{1}\end{array}|$-3$|\begin{array}{l}{2}&{3}\\{1}&{1}\end{array}|$=2×（1-3×4）-3×（2×1-3×1）=-19，
故A₄₁+A₄₂+A₄₃+A₄₄=-19．

点评 本题考查行列式的代数余子式的性质，考查了行列式的解法，是基础题．