Question

图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4．已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为，设AB=2x，BC=y．
（1）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；
（2）求当x取何值时，凹槽的强度最大．

Answer 1

解：（1）易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为πx．
所以4=2x+2y+πx，（2分）
得（3分）
依题意知：0＜x＜y
得
所以，（）．（6分）

（2）依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有
（8分）
=
=
=．（11分）
因为，
所以，当时，凹槽的强度最大．（13分）
答：当时，凹槽的强度最大．（14分）
分析：（1）由“其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4”建立模型，再根据四边形ABCD是矩形求得定义域．
（2）先求得横断面的面积，再由“凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为”建立模型，再用二次函数法求得最值．
点评：本题主要考查数学建模型和解模型的能力，主要涉及了平面图形的周长，面积及在实际问题中模型的意义．