Question

图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4．已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为

3

，设AB=2x，BC=y．

（1）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；
（2）求当x取何值时，凹槽的强度最大．

Answer 1

分析：（1）由“其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4”建立模型，再根据四边形ABCD是矩形求得定义域．
（2）先求得横断面的面积，再由“凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为

3

”建立模型，再用二次函数法求得最值．

解答：解：（1）易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为πx．
所以4=2x+2y+πx，（2分）
得y=

4-(2+π)x

2

（3分）
依题意知：0＜x＜y
得0＜x＜

4

4+π

所以，y=

4-(2+π)x

2

（0＜x＜

4

4+π

）．（6分）

（2）依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有
T=

3

S=

3

(2xy-

πx2

2

)（8分）
=

3

(2x?

4-(2+π)x

2

-

πx2

2

)
=

3

[4x-(2+

3π

2

)x2]
=-

3 (4-3π)

2

(x-

4

4+3π

)2+

8 3

4+3π

．（11分）
因为0＜

4

4+3π

＜

4

4+π

，
所以，当x=

4

4+3π

时，凹槽的强度最大．（13分）
答：当x=

4

4+3π

时，凹槽的强度最大．（14分）

点评：本题主要考查数学建模型和解模型的能力，主要涉及了平面图形的周长，面积及在实际问题中模型的意义．