Question

4．如图所示，在平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，BF与DE交于点M，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AM}$；
（2）在线段AB上取一点P，在线段AD上取一点Q，使PQ过点M，设$\overrightarrow{AP}$=p$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}$=q$\overrightarrow{AD}$，求证：$\frac{1}{7p}$+$\frac{3}{7q}$=1．

Answer 1

分析 （1）可根据D，M，E三点共线及已知条件，可得到$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AE}+k\overrightarrow{ED}$=$\overrightarrow{AE}+k（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}）$=$k\overrightarrow{AD}+\frac{1-k}{4}\overrightarrow{AB}$，而同理可根据B，M，F三点共线得到$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}+\frac{1-λ}{2}\overrightarrow{AD}$，这样便可得到$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1-λ}{2}}\\{\frac{1-k}{4}=λ}\end{array}\right.$，这样解出k，λ即可表示出$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{7}\overrightarrow{a}+\frac{3}{7}\overrightarrow{b}$；
（2）方法同上，根据P，M，Q三点共线，可以表示出$\overrightarrow{AM}=（1-μ）p\overrightarrow{a}+μq\overrightarrow{b}$，从而根据平面向量基本定理得到$\left\{\begin{array}{l}{（1-μ）p=\frac{1}{7}}\\{μq=\frac{3}{7}}\end{array}\right.$，这样便可证出$\frac{1}{7p}+\frac{3}{7q}=1$．

解答 解：（1）由D，M，E三点共线得：$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{AE}+k\overrightarrow{ED}$=$\overrightarrow{AE}+k（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}）=k\overrightarrow{AD}+（1-k）\overrightarrow{AE}$=$k\overrightarrow{AD}+\frac{1-k}{4}\overrightarrow{AB}$；
同理，由B，M，F可得到：$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}+（1-λ）\overrightarrow{AF}$=$λ\overrightarrow{AB}+\frac{1-λ}{2}\overrightarrow{AD}$；
∴由平面向量基本定理得，$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1-λ}{2}}\\{\frac{1-k}{4}=λ}\end{array}\right.$；
解得k=$\frac{3}{7}$，$λ=\frac{1}{7}$；
∴$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{7}\overrightarrow{a}+\frac{3}{7}\overrightarrow{b}$；
（2）由P，M，Q三点共线得，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{AP}+μ\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AP}+μ（\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}）$=$（1-μ）\overrightarrow{AP}+μ\overrightarrow{AQ}$=$（1-μ）p\overrightarrow{AB}+μq\overrightarrow{AD}$=$（1-μ）p\overrightarrow{a}+μq\overrightarrow{b}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{（1-μ）p=\frac{1}{7}}\\{μq=\frac{3}{7}}\end{array}\right.$；
∴$\frac{1}{7p}+\frac{3}{7q}=1$．

点评 考查向量加法、减法的几何意义，向量的数乘运算，以及共线向量基本定理，平面向量基本定理．