Question

已知椭圆的中心在原点，右顶点为A（2，0），其离心率与双曲线的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆顶点B（0，b），斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定双曲线、椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的方程；
（2）由（1）得过B点的直线为y=kx+1，联立直线y=kx+1与椭圆方程可求D的坐标，及k的取值范围，由|BD|，|BE|，|DE|成等比，可得|BE|²=|BD||DE|，即（1-y_D）|y_D|=1，解方程可求得结论．
解答：解：（1）双曲线的离心率，∴椭圆的离心率为
∵椭圆的长半轴长为a=2，=，∴c=
∴b²=a²-c²=1
∴椭圆方程为；…（5分）
（2）由椭圆，设直线方程为y=kx+1，联立，可得（4k²+1）x²+8kx=0，…（6分）
所以xD=-，所以yD=，…（8分）
依题意k≠0，k≠±．
因为|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，所以|BE|²=|BD||DE|，…（9分）
所以b²=（1-y_D）|y_D|，即（1-y_D）|y_D|=1，…（10分）
当y_D＞0时，y_D²-y_D+1=0，无解，…（11分）
当y_D＜0时，y_D²-y_D-1=0，解得或（舍去），…（10分）
所以=，解得…（12分）
点评：本题考查由椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交位置关系，考查等比数列的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．