Question

已知椭圆的中心在原点，一个焦点F₁（0，-2

2

），且离心率e满足：

2

3

，e，

4

3

成等比数列．
（1）求椭圆方程；
（2）直线y=x+1与椭圆交于点A，B．求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）依题意e=

2 2

3

，F₁（0，-2

2

），c=2

2

，a=3，b=1，由此能求出椭圆方程．
（2）由

y=x+1 x2+ y2 9 =1

，得5x²+x-4=0，故|AB|=

9 2

5

，又O到直线y=x+1的距离为

2

2

，由此能求出△AOB的面积．

解答：（本题满分12分）
解：（1）∵

2

3

，e，

4

3

成等比数列，
∴e2=

2

3

×

4

3

=

8

9

，∴e=

2 2

3

…（1分）．
∵椭圆的中心在原点，一个焦点F₁（0，-2

2

），
∴F₁（0，-2

2

），c=2

2

…（2分），
∴a=

c

e

=

2 2

2 2 3

=3，b=

a2-c2

=1，…（4分）
∴所求方程为x²+

1

9

y²=1．…（5分）
（2）由

y=x+1 x2+ y2 9 =1

消去y，得5x²+x-4=0，…7分
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

1

5

，x1x2=-

4

5

，
∴|AB|=

2( 1 25 + 16 5 )

=

9 2

5

…（9分）
又O（0，0）到直线y=x+1的距离d=

|0-0+1|

2

=

2

2

…（11分）
∴△AOB的面积S=

1

2

×

9 2

5

×

2

2

=

9

10

．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程和求法和三角形面积的求法，具体涉及到椭圆的基础知识，直线与椭圆的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答．