Question

已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，左焦点为F₁（-3，0），右准线方程为x=

25

3

．
（1）求椭圆的标准方程和离心率e；
（2）设P为椭圆上第一象限的点，F₂为右焦点，若△PF₁F₂为直角三角形，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由题意可得

c=3 a2 c = 25 3

可求a，c，进而可求b，椭圆方程
（2）由△PF₁F₂为直角三角形，分类讨论：①当∠PF₂F₁=90°②当∠F₂PF₁=90°时，结合椭圆定义和勾股定理，可分别进行求解

解答：解：（1）由题意可设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，----------------------（2分）
由左焦点为F₁（-3，0），右准线方程为x=

25

3

，得

c=3 a2 c = 25 3

----------------------（4分）
解得：

a=5 c=3

从而b=4．----------------------（6分）
所以所求椭圆标准方程为

x2

25

+

y2

16

=1．----------------------（8分）
（2）①当∠PF₂F₁=90°时由（1）可知右焦点为F₂（3，0），所以此时P点坐标为(3，

16

5

)，
于是△PF₁F₂的面积为S△PF1F2=

1

2

×6×

16

5

=

48

5

，----------------------（12分）
②当∠F₂PF₁=90°时，由椭圆定义和勾股定理得，

PF12+PF22=36，…(1) PF1 +PF2  =10，…(2)

（2）式的平方减去（1）式得PF₁•PF₂=32，但PF1•PF2≤(

PF1+PF2

2

)2=25，所以这种情况不存在．
综合①②得S△PF1F2=

48

5

．----------------------（16分）

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，三角形面积的求解的关键式椭圆性质及椭圆第二定义的求解