Question

5．已知定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x）=f（1-x），当$x∈[{0，\frac{1}{2}}]$时，f（x）=-4x²+4x，则函数g（x）=f（x）-ln（x+1）的零点个数为4．

Answer 1

分析 求出f（x）的周期和对称轴，做出f（x）和y=ln（x+1）的函数图象，根据函数图象的交点个数判断．

解答 解：∵f（x）=f（1-x），∴f（x）的图象关于x=$\frac{1}{2}$对称，
又f（x）是偶函数，∴f（x）=f（1-x）=f（x-1），
∴f（x）的周期是T=1．
令g（x）=0得f（x）=ln（x+1），
做出f（x）和y=ln（x+1）的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）和y=ln（x+1）的函数图象有4个交点，
∴g（x）=f（x）-ln（x+1）有4个零点．
故答案为：4．

点评 本题考查了函数零点个数与函数图象的关系，属于中档题．