Question

(08年四川卷理)设椭圆的左、右焦点分别是、，离心率，右准线上的两动点、，且．

（Ⅰ）若，求、的值；

（Ⅱ）当最小时，求证与共线．

Answer 1

解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧．

（Ⅰ）由已知，，．由，，∴．

又，∴，．

∴：，，．

延长交于，记右准线交轴于．

∵，∴．

由平几知识易证≌

∴，

即，．

∵，

∴，，，．

∴，．

（Ⅰ）另解：∵，∴，．

又

联立，消去、得：，

整理得：，．解得．但解此方程组要考倒不少人．

（Ⅱ）∵，∴．

．

当且仅当或时，取等号．此时取最小值．

此时．

∴与共线．

（Ⅱ）另解：∵，∴，．

　　　设，的斜率分别为，．

由，由

．当且仅当即，时取等号．

即当最小时，，

此时．

∴与共线．

点评：本题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊．注意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究．本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点．