Question

(08年四川卷理)设数列满足：．

（Ⅰ）当时，求证：是等比数列；

（Ⅱ）求通项公式．

Answer 1

解析：由题意，在中，令，得，．

　　　由

　　　得

　　　两式相减得：

　　　即　　　…………①

（Ⅰ）当时，由①知，

　　　于是

      又，所以是首项为1，公比为2的等比数列．

（Ⅰ）变：当时，求的通项公式．解法如下：

解：当时，由①知，

两边同时除以得

　　　　　　 ∴是等差数列，公差为，首项为

　　　　　　∴

∴（∴，∴是等比数列，首项为1，公比为2）

（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，，即

当时，由①：

　　　两边同时除以得

可设　…………②

展开②得，与比较，

得，∴．

∴

∴是等比数列，公比为，首项为

∴

∴

∴

点评：这是第一道考查＂会不会＂的问题．如若不会，对不起，请先绕道走．对大多数考生而言，此题是一道拦路虎．可能比压轴题还让人头痛．原因是两个小题分别考到了两种重要的递推方法．递推数列中对递推方法的考查，有30年历史了，现在只是陈题翻新而已．不过此题对考生有不公平之嫌．大中城市参加过竞赛培训的优生占便宜了．解题有套方为高啊．