Question

【题目】已知函数f(x)＝(2x－x2)ex－1.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若对任意x≥1，都有f(x)－mx－1＋m≤0恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：

（1）求出导函数，由不等式得增区间；由不等式得减区间；

（2）设，由可得，下面只要在的情况下研究问题．求出导函数，要研究的正负，因此再设，再求出导函数，可得时， ，即在上是递减的，因此得，按和分类讨论研究的最大值可得结论．

试题解析：

(1)由已知得f′(x)＝(－x2＋2)ex－1，当f′(x)<0，即－x2＋2<0时，x<－或x>；

当f′(x)>0，即－x2＋2>0时，－ <x<，所以f(x)在(－∞，－)上单调递减，在(－，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．

(2)令g(x)＝(2x－x2)ex－1－mx－1＋m，x≥1，

由已知可得g(2)≤0，即m≥－1，下面只要考虑m≥－1的情况即可．

g′(x)＝(2－x2)ex－1－m，令h(x)＝(2－x2)ex－1－m，则h′(x)＝－(x2＋2x－2)ex－1，

因为x≥1，所以x2＋2x－2>0，所以h′(x)<0，

所以h(x)在[1，＋∞)上单调递减，即g′(x)在[1，＋∞)上单调递减，则g′(x)≤g′(1)＝1－m.

①当1－m≤0，即m≥1时，此时g′(x)≤0，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝0，满足条件；

②当1－m>0，即－1≤m<1时，此时g′(1)>0，g′(2)＝－2e－m<0，所以存在x0∈(1，2)，使得g′(x0)＝0，则当1<x<x0时，g′(x)>0；当x>x0时，g′(x)<0，所以g(x)在[1，x0]上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减，所以当x∈[1，x0]时，g(x)≥g(1)＝0，此时不满足条件．

综上所述，实数m的取值范围为[1，＋∞)．