Question

17．已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线A₁C=3，它的表面积是16，则它的体积是（　　）

• A． 4
• B． $\frac{112}{27}$
• C． 4或$\frac{112}{27}$
• D． $\frac{112}{9}$

Answer 1

分析 设出棱锥的底面边长与高，利用条件，列出方程求解即可．

解答 解：设正四棱柱底面边长为a，高为：b，
正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线A₁C=3，它的表面积是16，
可得：$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}+{b}^{2}}=3$，…①，即2a²+b²=9
4ab+2a²=16…②，
消去常数项得7a²-18ab-8b² =0．
所以，a=2b 或a=$\frac{4b}{7}$代入上述②得：a=2，b=1．
或a=$\frac{4}{3}$，b=$\frac{7}{3}$．
因为V=a² •b，
所以V=4或V=$\frac{112}{27}$．
故选：C．

点评 本题考查几何体的体积以及表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．