Question

5．正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求棱锥的全面积与体积．

Answer 1

分析 欲求正三棱锥的体积，先求正三棱锥的高，由题意，顶点在底面中的射影是底面的中心，从而利用侧棱与底面所成角为45°角，可求底面边长，从而得解．

解答 解：正三棱锥的高为h，由题意，顶点在底面中的射影是底面的中心，从而有高为h=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，底面边长为：m，
$\frac{\sqrt{3}}{2}m=\frac{\sqrt{2}}{2}a×\frac{3}{2}$，m=$\frac{\sqrt{6}}{2}a$，SD=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{4}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}a$．
∴正三棱锥的体积等于 $\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}a$×$（\frac{\sqrt{6}}{2}a）^{2}$=$\frac{{a}^{3}}{8}$．
表面积：$\frac{\sqrt{3}}{4}×（{\frac{\sqrt{6}}{2}a）}^{2}+3×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}a×\frac{\sqrt{10}}{4}a$=$\frac{3\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{8}{a}^{2}$

点评 本题主要考查棱锥，线面关系、直线与平面所成的角、点到面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．