Question

16．设集合A={-4，0}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0，a∈R}．
（1）若A∪B=B，求实数a的值；
（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由A∪B=B知A是B的子集，由此求得a的值；
（2）根据A∩B=B，得B⊆A，然后分B为空集，单元素集合，双元素集合讨论求解a的取值范围．

解答 解：（1）若A∪B=B，则B?A={4，0}，
∴0和4是方程x²+2（a+1）x+a²-1=0的两根
∴0+4=-2（a+1）=4
0×4=a²-1=0
解得：a=1或a=-1（舍去）．
（2）由A∩B=B，得B⊆A，
当△=[2（a+1）]²-4（a²-1）＜0，即a＜-1时，B=∅，符合题意；
当△=[2（a+1）]²-4（a²-1）≥0，即a≥-1时，
若a=-1，则B={0}，符合题意；
当a＞-1时，由B⊆A，且A={-4，0}，
可知a+1=2，a=1．
∴满足A∩B=B的实数a的取值范围为a=1或a≤-1．

点评 本小题主要考查子集与交集、并集运算的转换、一元二次方程的解等基础知识，考查分类讨论思想、方程思想．属于基础题．