Question

4．已知二次函数f（x）=ax²+bx+1，（a，b∈R）与x轴的两个交点分别是（$\frac{1}{3}$，0），（$\frac{1}{2}$，0）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若二次方程f（x）-m=0有两个不同的根，求实数m的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）+k在区间[0，1]内有最大值为3，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）运用二次方程的韦达定理，计算即可得到a，b的值；
（2）由二次方程有不同实根的条件：判别式大于0，解不等式即可得到m的范围；
（3）运用二次函数的最值的求法，注意对称轴和区间的关系，即可得到最大值，求得k的值．

解答 解：（1）由题意可得$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$是方程ax²+bx+1=0的两根，
即有$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$=-$\frac{b}{a}$，$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{a}$，
解得a=6，b=-5；
（2）由题意可得6x²-5x+1-m=0有两个不同的实根，
即有判别式△＞0，
即为25-24（1-m）＞0，
解得m＞-$\frac{1}{24}$，
即实数m的取值范围是（-$\frac{1}{24}$，+∞）；
（3）由题意可得，函数g（x）=6x²-5x+1+k在区间[0，1]内有最大值为3，
由对称轴x=$\frac{5}{12}$∈[0，1]，g（$\frac{5}{12}$）取得最小值，
g（1）取得最大值，且有6-5+1+k=3，
解得k=1．

点评 本题考查二次函数的性质和应用，考查二次方程的实根的分布和韦达定理的运用，考查运算能力，属于中档题．