Question

已知x＜1，则

4

x-1

+x的最大值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：法一：令f（x）=

4

x-1

+x，x＜1．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
法二：变形利用基本不等式的性质即可．

解答： 解：法一：令f（x）=

4

x-1

+x，x＜1．
则f′(x)=

-4

(x-1)2

+1=

(x-3)(x+1)

(x-1)2

，
令f′（x）=0，∵x＜1，∴x=-1．
当x＜-1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减法．
∴当x=-1时，函数f（x）取得绝对值，即最大值，f（-1）=-3．
法二：∵x＜1，∴1-x＞0．
∴

4

x-1

+x=-[

4

1-x

+(1-x)]+1≤-2

4 1-x •(1-x)

+1=-3，当且仅当x=-1时取等号．
因此

4

x-1

+x的最大值是-3．
故答案为：-3．

点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，属于基础题．