Question

已知，函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）求证：对于任意的，都有.

Answer 1

（1）单调递增区间为,单调递减区间为,；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先对求导，利用单调递增，单调递减，通过解不等式，求出函数的单调区间；第二问，由于对于任意的，都有 对于任意的，都有，利用导数判断函数在上的单调性，数形结合求出的最小值和的最大值，进行比较，看是否符合.
（1）函数的定义域为,，
因为，
所以，当，或时，；
当时，．
所以，的单调递增区间为,单调递减区间为,．        6分
（2）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，，
所以，当时，．
由，可得．
所以当时，函数在区间上是增函数，
所以，当时，．
所以，当时，
对于任意的，都有，，所以．
当时，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
所以，当时，．
所以，当时，
对于任意的，都有，，所以．
综上，对于任意的，都有．      13分