Question

20. （本题满分16分）集合A是由具备下列性质的函数组成的：

（1）函数的定义域是；

（2）函数的值域是；

（3）函数在上是增函数．试分别探究下列两小题：

（Ⅰ）判断函数，及是否属于集合A？并证明．

（Ⅱ）对于（Ⅰ）中你认为属于集合A的函数，不等式是否对于任意的总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）不属于集合A，属于集合A；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）只需验证函数是否满足3个条件即可，因为为上是增函数，所以的值域是，不满足（2），不属于集合A（或举反例，如，不满足（2））；的定义域是，又为定义域上的增函数，所以函数的值域是，满足条件（1）（2）（3），所以属于集合A；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以所以不等式对于任意的总成立．

试题解析：（Ⅰ）因为为上是增函数，所以的值域是，函数不属于集合A．（或，不满足条件）

在集合A中，因为：函数的定义域是；易知函数在上是增函数，所以函数的值域是，满足条件（1）（2）（3）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，

对于任意的总成立．

考点：（Ⅰ）函数的基本性质；（Ⅱ）不等式证明.