Question

（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，经过点，,且抛物线的焦点为.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 垂直于的直线与椭圆交于,两点，当以为直径的圆与轴相切时，求直线的方程和圆的方程.

Answer 1

（1）
（2），或，

试题分析：（1） 设椭圆的方程为，
则由椭圆经过点，,有，①
∵抛物线的焦点为_，∴ ， ②
又 ③，
由①、②、③得，
所以椭圆的方程为.                                       ……5分
（2） 依题意，直线斜率为1，
由此设直线的方程为，代入椭圆方程，得.
由，得.
记， =，=，
圆的圆心为，即, ，
半径，
当圆与轴相切时，，即，，
当时，直线方程为，此时，，圆心为(2，1)，半径为2，圆的方程为；
同理，当时，直线方程为，
圆的方程为.                                 ……13分
点评：每年高考圆锥曲线问题都出现在压轴题的位置上，难度一般较大，要充分利用数形结合数学思想方法，尽可能的寻求简单方法，尽可能的减少运算，另外思维一定要严谨，运算一定要准确.