Question

(本题满分13分) 如图，是离心率为的椭圆,
：()的左、右焦点，直线：将线段分成两段，其长度之比为1 : 3．设是上的两个动点，线段的中点在直线上，线段的中垂线与交于两点．

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 是否存在点，使以为直径的圆经过点，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)存在两点符合条件，坐标为，理由见解析

试题分析：(Ⅰ) 设，则＝，所以＝1．
因为离心率e＝，所以＝．
所以椭圆C的方程为．                                                      ……5分
(Ⅱ) 当直线垂直于轴时，直线方程为＝－，
此时(，0)、(,0) ，．不合题意；                           ……7分
当直线不垂直于轴时，设存在点(－，) (≠0)，直线的斜率为，
．
由  得＝0，则，
故．此时，直线斜率为，的直线方程为．
即．
联立 消去，整理得．
所以，．                                           ……10分
由题意0，于是

                      =0．

因为在椭圆内，符合条件；
综上，存在两点符合条件，坐标为．                               ……13分
点评：设直线方程时，要考虑到直线方程斜率是否存在；对于探究性问题，可以先假设存在，再进行计算，如果能求出来，就说明存在，如果求不出来或者得出矛盾，则说明不存在.