Question

（本小题满分12分）椭圆：的左、右焦点分别为，焦距为2，，过作垂直于椭圆长轴的弦长为3．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过的直线l交椭圆于两点．并判断是否存在直线l使得的夹角为钝角，若存在，求出l的斜率k的取值范围。

Answer 1

(Ⅰ)；（Ⅱ） 。

试题分析：(Ⅰ)依题意             2分
解得，∴椭圆的方程为：               4分
（注：也可以由，椭圆定义求得）
（Ⅱ）（i）当过直线的斜率不存在时，点，；则；5分
(ii)当过直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，
设, 由   得：
            7分

         10分
当的夹角为钝角时，<0，            11分
情形（i）不满足<0，                12分
点评：求圆锥曲线的标准方程是解析几何的基本问题，在研究直线与椭圆的位置关系中，常常用到韦达定理，以实现整体代换，向量知识常在条件中出现，以达到综合考查的目的。