Question

已知首项不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，若对任意的r，t∈N^*，都有

Sr

St

=( 

r

t

 )2．
（Ⅰ）判断数列{a_n}是否为等差数列，并证明你的结论；
（Ⅱ）若数列{b_n}的第n项b_n是数列{a_n}的第b_n-1项（n≥2，n∈N^*），且a₁=1，b₁=3，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）因为已知前n项和可求得通项用通项公式法判断；
（II）由（I）知a_n=2n-1，则根据题意得出b_n与b_n-1间的关系，构造等比数列b_n-1，求得b_n进而求得T_n

解答：解：（Ⅰ）令t=1，r=n，得

Sn

S1

=n2，于是S_n=n²a₁．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2n-1）a₁；
当n=1时，S₁=a₁也适合上式．
综上知，a_n=（2n-1）a₁．
所以a_n-a_n-1=2a₁．
故数列{a_n}是公差d=2a₁的等差数列．
（Ⅱ）当a₁=1时，由（Ⅰ）知，a_n=2n-1．
于是b_n=2b_n-1-1，即b_n-1=2（b_n-1-1）．
因此数列{b_n-1}是首项为b₁-1=2，公比为2的等比数列，所以b_n-1=2×2^n-1=2ⁿ．即b_n=2ⁿ+1．
故Tn=b1+b1++bn=( 21+22++2n )+n=

2 ( 1-2n )

1-2

+n=2n+1+n-2．

点评：本题主要考查a_n与S_n的关系，等差数列，等比数列等基础知识，同时考查分析问题和解决问题的能力