Question

（2010•济南一模）已知函数f(x)=sin(ωx+?)，其中ω＞0，|φ|＜

π

2

|，若a=(1，1)，b=(cos?，-sinφ)，且

a

⊥

b

，又知函数
f（x）的周期为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若将f（x）的图象向右平移

π

6

个单位得到g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）根据所给的两个向量垂直，得出它们的数量积为0，求出φ值，再根据周期公式求出ω，最后写出函数的解析式．
（2）根据函数的图象的平移的原则，写出新的函数的解析式，根据正弦曲线的单调区间写出函数的单调递增区间．

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=0…（1分）
∴

a

•

b

=cosφ-sinφ=

2

(

2

2

cosφ-

2

2

sinφ)=

2

cos(φ+

π

4

)=0…（3分）
∴φ+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，
即φ=kπ+

π

4

，k∈Z．
又∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

4

．…（5分）
∵函数f（x）的周期T=π，即

2π

ω

=π，ω=2．
∴解析式为f(x)=sin(2x+

π

4

)…（6分）
（2）由题意知，函数f（x）的图象向右平移

π

6

个单位得到g（x）的图象
∴g(x)=sin[2(x-

π

6

)+

π

4

]=sin(2x-

π

12

)…（8分）
∴g（x）的单调递增区间为2kπ-

π

2

≤2x-

π

12

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
解得kπ-

5π

24

≤x≤kπ+

7π

24

，k∈Z，…（10分）
∴g（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

24

，kπ+

7π

24

](k∈Z)…（12分）

点评：本题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系、正弦函数的单调性和函数的图象的平移，本题解题的关键是正确写出函数的解析式，这是后面解题的依据，本题是一个中档题目．